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L'image directe d'un sous-ensemble A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} par une application f : : X → → Y {\displaystyle f\,\colon X\to Y} est le sous-ensemble de Y {\displaystyle Y} formé des éléments qui ont, par f {\displaystyle f} , au moins un antécédent appartenant à A {\displaystyle A} :

f

(

A

)

=

{

f

(

x

)

∣

∣

x

∈

∈

A

}

=

{

y

∈

∈

Y

∣

∣

∃

∃

a

∈

∈

A

,

y

=

f

(

a

)

}

.

{\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in Y\mid \exists a\in A,y=f(a)\}.}

• Exemples

• Propriétés élémentaires

• Notes et références

• Articles connexes

• On définit en particulier l'image d'une application f {\displaystyle f} définie sur X {\displaystyle X} : I m ( f ) = f ( X ) . {\displaystyle \mathrm {Im} (f)=f(X).}

• On se gardera bien de confondre l'image directe par f {\displaystyle f} d'une partie A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} , avec l'image par f {\displaystyle f} d'un élément x {\displaystyle x} de X {\displaystyle X} , ou avec l'image de l'application f {\displaystyle f} cite-ref-1[1].

• Considérons l'application f {\displaystyle f} de { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} dans { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b,c,d\}} définie par f ( 1 ) = a {\displaystyle f(1)=a} , f ( 2 ) = c {\displaystyle f(2)=c} et f ( 3 ) = d {\displaystyle f(3)=d} . L'image directe de { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} par f {\displaystyle f} est f ( { 2 , 3 } ) = { c , d } {\displaystyle f\left(\{2,3\}\right)=\{c,d\}} tandis que l'image de f {\displaystyle f} est { a , c , d } {\displaystyle \{a,c,d\}} .

• Pour toutes parties A 1 {\displaystyle A_{1}} et A 2 {\displaystyle A_{2}} de X {\displaystyle X} , f ( A 1 ∪ ∪ A 2 ) = f ( A 1 ) ∪ ∪ f ( A 2 ) . {\displaystyle f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).} Plus généralement, pour toute famille ( A i ) i ∈ ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} de parties de X {\displaystyle X} , f ( ⋃ ⋃ i ∈ ∈ I A i ) = ⋃ ⋃ i ∈ ∈ I f ( A i ) . {\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).}

• Pour toutes parties A 1 {\displaystyle A_{1}} et A 2 {\displaystyle A_{2}} de X {\displaystyle X} , f ( A 1 ∩ ∩ A 2 ) ⊂ ⊂ f ( A 1 ) ∩ ∩ f ( A 2 ) {\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})} et cette inclusion peut être stricte, sauf si f {\displaystyle f} est injectivecite-ref-wikiversit-2-0[2]. On peut même prouver que f {\displaystyle f} est injective si et seulement si pour toutes parties A 1 {\displaystyle A_{1}} et A 2 {\displaystyle A_{2}} de X {\displaystyle X} , on a f ( A 1 ∩ ∩ A 2 ) = f ( A 1 ) ∩ ∩ f ( A 2 ) {\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})} .

Plus généralement, pour toute famille non vide ( A i ) i ∈ ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} de parties de X {\displaystyle X} ,

f

(

⋂

⋂

i

∈

∈

I

A

i

)

⊂

⊂

⋂

⋂

i

∈

∈

I

f

(

A

i

)

{\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}

.

• Toute partie B {\displaystyle B} de Y {\displaystyle Y} contient l'image directe de son image réciproque f − − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} ; plus précisémentcite-ref-wikiversit-2-1[2] : f ( f − − 1 ( B ) ) = B ∩ ∩ I m ( f ) . {\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B\cap \mathrm {Im} (f).} En particulier, si f {\displaystyle f} est surjective alors f ( f − − 1 ( B ) ) = B {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B} .

On peut même prouver que f {\displaystyle f} est surjective si et seulement si pour toute partie B {\displaystyle B} de Y {\displaystyle Y} on a f ( f − − 1 ( B ) ) = B {\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B} .

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} est contenue dans l'image réciproque de son image directe : A ⊂ ⊂ f − − 1 ( f ( A ) ) {\displaystyle A\subset f^{-1}\left(f(A)\right)} et cette inclusion peut être stricte, sauf si f {\displaystyle f} est injectivecite-ref-wikiversit-2-2[2]. On peut même prouver que f {\displaystyle f} est injective si et seulement si pour toutes parties A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} , on a A = f − − 1 ( f ( A ) ) {\displaystyle A=f^{-1}\left(f(A)\right)} .

• Si l'on considère de plus une application g : Y → → Z {\displaystyle g:Y\rightarrow Z} , alors l'image directe d'une partie A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} par la composée g ∘ ∘ f : X → → Z {\displaystyle g\circ f:X\to Z} est :

(

g

∘

∘

f

)

(

A

)

=

g

(

f

(

A

)

)

{\displaystyle (g\circ f)\left(A\right)=g\left(f(A)\right)}

cite-note-11. ↑ Pour éviter toute confusion, mac-lanebirkhoffsaunders-mac-lanegarrett-birkhoffSaunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], vol. 1, p. 8, parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent f {\displaystyle f} *.

cite-note-wikiversit-22. Pour une démonstration, voir par exemple le corrigé de l'exercice correspondant sur Wikiversité.

• Théorie naïve des ensembles

• Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)

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